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机器学习是解决很多文本任务的基本工具,本文自然会花不少篇幅来介绍机器学习。要想搞明白什么是机器学习,一定要知道一些概率论和信息论的基本知识,本文就简单回顾一下这些知识。

1.1 概率论

概率就是描述一个事件发生的可能性。我们生活中绝大多数事件都是不确定的,每一件事情的发生都有一定的概率(确定的事件就是其概率为100%而已)。天气预报说明天有雨,那么它也只是说明天下雨的概率很大。再比如掷骰子,我把一个骰子掷出去,问某一个面朝上的概率是多少?在骰子没有做任何手脚的情况下,直觉告诉你任何一个面朝上的概率都是1/6,如果你只掷几次,是很难得出这个结论的,但是如果你掷上1万次或更多,那么必然可以得出任何一个面朝上的概率都是1/6的结论。这就是大数定理:当试验次数(样本)足够多的时候,事件出现的频率无限接近于该事件真实发生的概率。

假如我们用概率函数来表示随机变量xX的概率分布,那么就要满足如下两个特性

联合概率p(x,y)表示两个事件共同发生的概率。假如这两个事件相互独立,那么就有联合概率p(x,y) = p(x)p(y)。

条件概率p(y | x)是指在已知事件x发生的情况下,事件y发生的概率,且有p(y | x) = p(x,y)/p(x)。如果这两个事件相互独立,那么p(y | x)与p(y)相等。

联合概率和条件概率分别对应两个模型:生成模型和判别模型。我们将在下一章中解释这两个模型。

概率分布的均值称为期望,定义如下

期望就是对每个可能的取值x,与其对应的概率值p(x),进行相乘求和。假如一个随机变量的概率分布是均匀分布,那么它的期望就等于一个固定的值,因为它的概率分布p(x)=1/N

概率分布的方差定义如下

可以看出,方差是表示随机变量偏离期望的大小,所以它是衡量数据的波动性的,方差越小表示数据越稳定,反之,方差越大表示数据的波动性越大。

另外,你还需要知道的几个常用的概率分布:均匀分布、正态分布、二项分布、泊松分布、指数分布,等等。你还可以了解一下矩阵的知识,因为所有公式都可以表示成矩阵形式。

1.2 信息论

假如一个朋友告诉你外面下雨了,你也许觉得不怎么新奇,因为下雨是很平常的一件事情,但是如果他告诉你他见到外星人了,那么你就会觉得很好奇:真的吗?外星人长什么样?同样两条信息,一条信息量很小,一条信息量很大,很有价值,那么怎么量化这个价值呢?这就需要信息熵,一个随机变量X信息熵定义如下

信息越少,事件(变量)的不确定性越大,它的信息熵也就越大,搞明白该事件所需要的额外信息就越多,也就是说搞清楚小概率事件所需要的额外信息较多,比如说,为什么大多数人愿意相信专家的话,因为专家在他专注的领域了解的知识(信息量)多,所以他对某事件的看法较透彻,不确定性就越小,那么他所传达出来的信息量就很大,听众搞明白该事件所需要的额外信息量就很小。总之,记住一句话:信息熵表示的是不确定性的度量。信息熵越大,不确定性越大。

联合熵的定义为

联合熵描述的是一对随机变量XY的不确定性。

条件熵的定义为

条件熵衡量的是:在一个随机变量X已知的情况下,另一个随机变量Y的不确定性。

相对熵(又叫KL距离,信息增益)的定义如下

相对熵是衡量相同事件空间里两个概率分布(函数)的差异程度(而前面的熵衡量的是随机变量的关系)。当两个概率分布完全相同时,它们的相对熵就为0,当它们的差异增加时,相对熵就会增加。相对熵又叫KL距离,但是它不满足距离定义的3个条件中的两个:(1)非负性(满足);(2)对称性(不满足);(3)三角不等式(不满足)。它的物理意义就是如果用q分布来编码p分布(一般就是真实分布)的话,平均每个基本事件编码长度增加了多少比特。

两个随机变量XY,它们的互信息定义为

互信息是衡量两个随机变量的相关程度,当XY完全相关时,它们的互信息就是1;反之,当XY完全无关时,它们的互信息就是0。

对于xy两个具体的事件来说,可以用点互信息(Pointwise Mutual Information)来表示它们的相关程度。后面的章节就不做具体区分,都叫作互信息。

互信息和熵有如下关系


互信息和KL距离有如下关系

如果XY完全不相关,

,则

,互信息也为0。可以看出互信息是KL距离的期望。

交叉熵的定义如下

它其实就是用分布q来表示X的熵是多少,也就是说用分布q来编码X(其完美分布是p)需要多付出多少比特。

好了,介绍了这么多概念公式,那么我们来个实际的例子,在文本处理中,有个很重要的数据就是词的互信息。前面说了,互信息是衡量两个随机变量(事件)的相关程度,那么词的互信息,就是衡量两个词的相关程度,例如,“计算机”和“硬件”的互信息就比“计算机”和“杯子”的互信息要大,因为它们更相关。那么如何在大量的语料下统计出词与词的互信息呢?公式中可以看到需要计算3个值:p(x)、p(y)和p(x,y)。它们分别表示x独立出现的概率,y独立出现的概率,xy同时出现的概率。前两个很容易计算,直接统计词频然后除以总词数就知道了,最后一个也很容易,统计一下xy同时出现(通常会限定一个窗口)的频率,除以所有无序对的个数就可以了。这样,词的互信息就计算出来了,这种统计最适合使用Map-Reduce来计算。

1.3 贝叶斯法则

贝叶斯法则是概率论的一部分,之所以单独拿出来介绍,是因为它真的很重要。它是托马斯?贝叶斯生前在《机遇理论中一个问题的解》(An Essay Towards Solving a Problem in Doctrine of
Chance
)中提出的一个当时叫“逆概率”问题。贝叶斯逝世后,由他的一个朋友替他发表了该论文,后来在这一理论基础上,逐渐形成了贝叶斯学派。

贝叶斯法则的定义如下

p(x | y)称为后验概率,p(y | x)称为似然概率,p(x)称为先验概率,p(y)一般称为标准化常量。也就是说,后验概率可以用似然概率和先验概率来表示。这个公式非常有用,很多模型以它为基础,例如贝叶斯模型估计、机器翻译、Query纠错、搜索引擎等等。在后面的章节中,大家经常会看到这个公式。

好了,这个公式看着这么简单,到底能有多大作用呢?我们先拿中文分词来说说这个公式如何应用的。

中文分词在中文自然语言处理中可以算是最底层、最基本的一个技术了,因为几乎所有的文本处理任务都要首先经过分词这步操作,那么到底要怎么对一句话分词呢?最简单的方法就是查字典,如果这个词在字典中出现了,那么就是一个词。当然,查字典要有一些策略,最常用的就是最大匹配法。最大匹配法是怎么回事呢?举个例子来说,要对“中国地图”来分词,先拿“中”去查字典,发现“中”在字典里(单个词肯定在字典里),这时肯定不能返回,要接着查,“中国”也在字典里,然后再查“中国地”,发现它没在字典里,那么“中国”就是一个词了;然后以同样的方法处理剩下的句子。所以,最大匹配法就是匹配在字典中出现的最长的词。查字典法有两种:正向最大匹配法和反向最大匹配法,一个是从前向后匹配,一个是从后向前匹配。但是查字典法会遇到一个自然语言处理中很棘手的问题:歧义问题。如何解决歧义问题呢?

我们就以“学历史知识”为例来说明,使用正向最大匹配法,我们把“学历史知识”从头到尾扫描匹配一遍,就被分成了“学历\史\知识”,很显然,这种分词不是我们想要的结果;但是如果我们使用反向最大匹配法从尾到头扫描匹配一遍,那就会分成“学/历史/知识”,这才是我们想要的分词结果。可以看出用查字典法来分词,就会存在二义性,一种解决办法就是分别从前到后和从后到前匹配。在这个例子中,我们分别从前到后和从后到前匹配后,将得到“学历\史\知识”和“学/历史/知识”,很显然,这两个分词都有“知识”,那么说明“知识”是正确的分词,然后就看“学历\史”和“学/历史”哪个是正确的。从我们的角度看,很自然想到“学/历史”是正确的,为什么呢?因为(1)在“学历\史”中“史”这个词单独出现的概率很小,在现实中我们几乎不会单独使用这个词;(2)“学历”和“史”同时出现的概率也要小于“学”和“历史”同时出现的概率,所以“学/历史”这种分词将会胜出。这只是我们人类大脑的猜测,有什么数学方法证明呢?有,那就是基于统计概率模型。

我们的数学模型表示如下:假设用户输入的句子用S表示,把S分词后可能的结果表示为A:A1, A2,…, Ak(Ai表示词),那么我们就是求条件概率p(A | S)达到最大值的那个分词结果。这个概率不好求出,这时贝叶斯法则就用上派场了,根据贝叶斯公式改写为

显然,p(S)是一个常数,那么公式相当于改写成

其中,p(S | A)表示(A)这种分词生成句子S的可能性;p(A)表示(A)这种分词本身的可能性。

下面的事情就很简单了。对于每种分词计算一下p(S | A)p(A)这个值,然后取最大的,得到的就是最靠谱的分词结果。比如“学历史知识”(用S表示)可以分为如下两种(当然,实际情况就不止两种情况了):“学历\史\知识”(用A表示,A1=学历,A2=史,A3=知识)和“学/历史/知识”(用B表示,B1=学,B2=历史,B3=知识),那么我们分别计算一下p(S | A)p(A)和p(S | B)p(B),哪个大,就说明哪个是好的分词结果。

但是

这个公式并不是很好计算,

可以认为就是1,因为由

必然能生成S,那么剩下的问题就是如何计算

在数学中,要想简化数学模型,就要利用假设。我们假设句子中一个词的出现概率只依赖于它前面的那个词(当然可以依赖于它前面的 m 个词),这样,根据全概率公式

就可以改写为

接下来的问题就是如何估计

。然而,

,这个问题变得很简单,只要数一数(

)这对词在统计的文本中前后相邻出现了多少次,以及Ai?1本身在同样的文本中出现了多少次,然后用两个数除以它就可以了。

上面计算

的过程其实就是统计语言模型,然而真正在计算语言模型的时候,要对公式进行平滑操作。Zipf定律指出:一个单词出现的频率与它在频率表里的排名(按频率从大到小)成反比。这说明对于语言中的大多数词,它们在语料中的出现是稀疏的,数据稀疏会导致所估计的分布不可靠,更严重的是会出现零概率问题,因为

的值有可能为0,这样整个公式的值就为0,而这种情况是很不公平的,所以平滑解决了这种零概率问题。具体的平滑算法读者可以参考论文《An Empirical Study of Smoothing Techniques for Language Modeling》。

然而在实际系统中,由于性能等因素,很少使用语言模型来分词消歧,而是使用序列标注模型(后面章节会讲到)、语料中词与词的共现信息、词的左熵(该词左边出现过的所有词的信息熵之和)和右熵(该词右边出现过的所有词的信息熵之和),以及一些词典等方法来消歧。新词发现技术也和这个技术差不多。

1.4 问题与思考

1.熵、相对熵和交叉熵的物理意义是什么?

2.贝叶斯法则的优缺点是什么,有哪些应用?





本文摘自《文本上的算法——深入浅出自然语言处理》

《文本上的算法——深入浅出自然语言处理》

路彦雄 著

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自然语言处理是研究人机之间用自然语言通信的理论和方法,是人工智能领域的一个重要分支,有着非常广泛的应用空间。

本书结合作者多年学习和从事自然语言处理相关工作的经验,力图用生动形象的方式深入浅出地介绍自然语言处理的理论、方法和技术。本文抛弃繁琐的证明,提取出算法的核心,帮助读者尽快地掌握自然语言处理所必备的知识和技能。

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