矩阵的基本概念    

基本演算

  1. 矩阵的转置 \[\begin{equation} (\mathbf{A}+\mathbf{B})^T  = \mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T \end{equation} \]
    \[\begin{equation} (\mathbf{AB})^T  = \mathbf{B}^T\mathbf{A}^T \end{equation} \]
    上面\(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\)

  2. 矩阵的逆
    对于矩阵\(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\),若 \(m=n\),则称\(\mathbf{A}\)为\(n\)阶方阵。
    如果\(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}= \mathbf{I}\),则称\(\mathbf{A}^{-1}\)为逆矩阵。
    \[\begin{equation} (\mathbf{A}^T)^{-1}  = (\mathbf{A}^{-1})^T \end{equation}\]
    \[\begin{equation} (\mathbf{AB})^{-1}  = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} \end{equation}\]

  3. 矩阵的迹
    定义为方阵中主对角线上的元素之和,即\(tr(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n}A_{ij}\)
    \[\begin{equation} tr(\mathbf{A}^T)  = tr(\mathbf{A}) \end{equation}\] \[\begin{equation} tr(\mathbf{A+B})    = tr(\mathbf{A}) +tr(\mathbf{B}) \end{equation}\]
    \[\begin{equation} tr(\mathbf{AB})    = tr(\mathbf{BA})   \end{equation}\]
    \[\begin{equation} tr(\mathbf{ABC})    = tr(\mathbf{BCA})   tr(\mathbf{CBA})   \end{equation}\]

  4. 矩阵的行列式 (determinant)

    \[\begin{equation} det(\mathbf{A})    = \sum_{\mathbf{\sigma}\in S_n}par(\mathbf{\sigma})A_{1\sigma_1}A_{2\sigma_2}\dots A_{n\sigma_n}   \end{equation}\]
    其中\(S_n\)是所有\(n\)阶排列 (permutation) 的集合。\(par(\mathbf{\sigma})\) 的值为 \(-1\) 或 \(+1\),取决于\(\mathbf{\sigma} = (\sigma_1,\sigma_2,\cdots ,\sigma_n)\) 为奇排列或偶排列,即出现降序的次数是奇数或偶数。
    \[\begin{equation} det(c\mathbf{A}) = c^ndet(\mathbf{A})\\ \end{equation}\] \[\begin{equation} det(\mathbf{A})^T=det(\mathbf{A}) \end{equation}\]

    \[\begin{equation} det(\mathbf{AB})^T=det(\mathbf{A})det(\mathbf{B}) \end{equation}\] \[\begin{equation} det(\mathbf{A^{-1}})=det(\mathbf{A})^{-1} \end{equation}\] \[\begin{equation} det(\mathbf{A^{n}})=det(\mathbf{A})^{n} \end{equation}\]

  5. Frobenius 范数

    对于\(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m \times n}\),其 Frobenius 范数定义如下:
    \[\begin{equation} \Vert\mathbf{A}\Vert_F = (tr(\mathbf{A}^T\mathbf{A}))^{1/2}=(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}^{2})^{1/2} \end{equation}\]

酉矩阵

设\(\mathbf{A} \in \mathbf{C}^{m\times n}\),用\(\mathbf{\bar{A}} \)表示以\(\mathbf{A} \)的元素的共轭复数组成的矩阵,令\(\mathbf{A}^H=(\mathbf{\bar{A}})^T\),则称\(\mathbf{A}^H\)为\(\mathbf{A} \) 的复共轭转置矩阵。
若\(\mathbf{A}^H = \mathbf{A}\),则称\(\mathbf{A}\)为 Hermite 矩阵。
若\(\mathbf{A}^H = -\mathbf{A}\),则称\(\mathbf{A}\)为反 Hermite 矩阵。
若\(\mathbf{A}^H\mathbf{A}  = \mathbf{A}\mathbf{A}^H = \mathbf{I}\),则称\(\mathbf{A}\) 为酉矩阵,记为\(\mathbf{A}\in \mathbf{U}^{m\times n}\)
一般的,如果\(\mathbf{A}^T\mathbf{A}  = \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{I}\),则称\(\mathbf{A}\) 为正交矩阵。
酉矩阵是正交矩阵的推广。

奇异值与分解

任意实矩阵\(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}\),都可分解为
\[\begin{equation} \mathbf{A} = \mathbf{U\Sigma}\mathbf{V}^T \end{equation}\]
其中\(\mathbf{U}\in \mathbb{R}^{m\times m}\)是满足\(\mathbf{U}^T\mathbf{U} = \mathbf{I}\)的 \(m\)阶酉矩阵。\(\mathbf{V}\in \mathbb{R}^{n\times n}\)是满足\(\mathbf{V}^T\mathbf{V} = \mathbf{I}\)的 \(n\)阶酉矩阵。\(\mathbf{\Sigma}\in \mathbb{R}^{m\times n}\),其中\((\mathbf{\Sigma})_{ii}=\sigma_i\),且其他位置是0。\(\sigma_i\)是非负实数,且\(\sigma_1 \geqslant \sigma_2 \geqslant \cdots \geqslant 0\),称为奇异值 (singular value)。
矩阵 \(\mathbf{A}\) 的秩等于非零奇异值的个数。

特征值与分解

假定 \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\),\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\),且存在\(\lambda\),使得
\[\begin{equation} \mathbf{A}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} \end{equation}\]
则称 \(\boldsymbol{x}\) 为特征向量,\(\lambda\) 为对应的特征值。
特征值分解是将一个矩阵分解为如下形式:
\[\begin{equation} \boldsymbol{A} =\boldsymbol{QAQ^{-1}} \end{equation}\]
其中,\(\boldsymbol{Q}\)是由特征向量组成的矩阵。

正定矩阵

一个 \(n\) 阶实对称矩阵 \(\boldsymbol{M}\) 是正定的,当且仅当对于任何非零向量\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{n\times 1}\),都有\(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{Mx}>0\)。
对于 \(n\) 阶实对称矩阵 \(\boldsymbol{M}\),下面命题等价:

  • \(\boldsymbol{M}\) 是正定矩阵
  • \(\boldsymbol{M}\) 的一切顺序主子式为正
  • \(\boldsymbol{M}\) 的一切主子式为正
  • \(\boldsymbol{M}\) 的特征值为正
  • 存在实可逆矩阵\(\boldsymbol{C}\) ,使得\(\boldsymbol{M} =\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{C} \)

参考

posted on 2017-10-22 13:11 花老????  阅读(974)  评论(0) 编辑 收藏