深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失(vanishing)和爆炸(explosion)。

当神经网络的层数较多时,模型的数值稳定性容易变差。

假设一个层数为 L L L的多层感知机的第 l l l H ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} H(l)的权重参数为 W ( l ) \boldsymbol{W}^{(l)} W(l),输出层 H ( L ) \boldsymbol{H}^{(L)} H(L)的权重参数为 W ( L ) \boldsymbol{W}^{(L)} W(L)。为了便于讨论,不考虑偏差参数,且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射(identity mapping) ϕ ( x ) = x \phi(x) = x ϕ(x)=x。给定输入 X \boldsymbol{X} X,多层感知机的第 l l l层的输出 H ( l ) = X W ( 1 ) W ( 2 ) … W ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}^{(1)} \boldsymbol{W}^{(2)} \ldots \boldsymbol{W}^{(l)} H(l)=XW(1)W(2)W(l)。此时,如果层数 l l l较大, H ( l ) \boldsymbol{H}^{(l)} H(l)的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子,假设输入和所有层的权重参数都是标量,如权重参数为0.2和5,多层感知机的第30层输出为输入 X \boldsymbol{X} X分别与 0. 2 30 ≈ 1 × 1 0 − 21 0.2^{30} \approx 1 \times 10^{-21} 0.2301×1021(消失)和 5 30 ≈ 9 × 1 0 20 5^{30} \approx 9 \times 10^{20} 5309×1020(爆炸)的乘积。当层数较多时,梯度的计算也容易出现消失或爆炸。

随机初始化模型参数

在神经网络中,通常需要随机初始化模型参数。下面我们来解释这样做的原因。

回顾多层感知机一节描述的多层感知机。为了方便解释,假设输出层只保留一个输出单元 o 1 o_1 o1(删去 o 2 o_2 o2 o 3 o_3 o3以及指向它们的箭头),且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值,那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值,并传递至输出层。在反向传播中,每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此,这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下,无论隐藏单元有多少,隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此,正如在前面的实验中所做的那样,我们通常将神经网络的模型参数,特别是权重参数,进行随机初始化。

Image Name

PyTorch的默认随机初始化

随机初始化模型参数的方法有很多。在线性回归的简洁实现中,我们使用torch.nn.init.normal_()使模型net的权重参数采用正态分布的随机初始化方式。不过,PyTorch中nn.Module的模块参数都采取了较为合理的初始化策略(不同类型的layer具体采样的哪一种初始化方法的可参考源代码),因此一般不用我们考虑。

Xavier随机初始化

还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化。
假设某全连接层的输入个数为 a a a,输出个数为 b b b,Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布

U ( − 6 a + b , 6 a + b ) . U\left(-\sqrt{\frac{6}{a+b}}, \sqrt{\frac{6}{a+b}}\right). U(a+b6 ,a+b6 ).

它的设计主要考虑到,模型参数初始化后,每层输出的方差不该受该层输入个数影响,且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。

考虑环境因素

协变量偏移

这里我们假设,虽然输入的分布可能随时间而改变,但是标记函数,即条件分布P(y∣x)不会改变。虽然这个问题容易理解,但在实践中也容易忽视。

想想区分猫和狗的一个例子。我们的训练数据使用的是猫和狗的真实的照片,但是在测试时,我们被要求对猫和狗的卡通图片进行分类。

cat cat dog dog
Image Name Image Name Image Name Image Name

测试数据:

cat cat dog dog
Image Name Image Name Image Name Image Name

显然,这不太可能奏效。训练集由照片组成,而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练,而不考虑如何适应新的情况,这是不是一个好主意。不幸的是,这是一个非常常见的陷阱。

统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化(即协变量的变化)。数学上,我们可以说P(x)改变了,但P(y∣x)保持不变。尽管它的有用性并不局限于此,当我们认为x导致y时,协变量移位通常是正确的假设。

标签偏移

当我们认为导致偏移的是标签P(y)上的边缘分布的变化,但类条件分布是不变的P(x∣y)时,就会出现相反的问题。当我们认为y导致x时,标签偏移是一个合理的假设。例如,通常我们希望根据其表现来预测诊断结果。在这种情况下,我们认为诊断引起的表现,即疾病引起的症状。有时标签偏移和协变量移位假设可以同时成立。例如,当真正的标签函数是确定的和不变的,那么协变量偏移将始终保持,包括如果标签偏移也保持。有趣的是,当我们期望标签偏移和协变量偏移保持时,使用来自标签偏移假设的方法通常是有利的。这是因为这些方法倾向于操作看起来像标签的对象,这(在深度学习中)与处理看起来像输入的对象(在深度学习中)相比相对容易一些。

病因(要预测的诊断结果)导致 症状(观察到的结果)。

训练数据集,数据很少只包含流感p(y)的样本。

而测试数据集有流感p(y)和流感q(y),其中不变的是流感症状p(x|y)。

概念偏移

另一个相关的问题出现在概念转换中,即标签本身的定义发生变化的情况。这听起来很奇怪,毕竟猫就是猫。的确,猫的定义可能不会改变,但我们能不能对软饮料也这么说呢?事实证明,如果我们周游美国,按地理位置转移数据来源,我们会发现,即使是如图所示的这个简单术语的定义也会发生相当大的概念转变。

Image Name

美 国 软 饮 料 名 称 的 概 念 转 变 美国软饮料名称的概念转变
如果我们要建立一个机器翻译系统,分布P(y∣x)可能因我们的位置而异。这个问题很难发现。另一个可取之处是P(y∣x)通常只是逐渐变化。

Kaggle 房价预测实战

让我们动手实战一个Kaggle比赛:房价预测。本节将提供未经调优的数据的预处理、模型的设计和超参数的选择。

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import pandas as pd
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
torch.set_default_tensor_type(torch.FloatTensor)

获取和读取数据集

比赛数据分为训练数据集和测试数据集。两个数据集都包括每栋房子的特征,如街道类型、建造年份、房顶类型、地下室状况等特征值。这些特征值有连续的数字、离散的标签甚至是缺失值“na”。只有训练数据集包括了每栋房子的价格,也就是标签。我们可以访问比赛网页,点击“Data”标签,并下载这些数据集。

我们将通过pandas库读入并处理数据。在导入本节需要的包前请确保已安装pandas库。
假设解压后的数据位于/home/kesci/input/houseprices2807/目录,它包括两个csv文件。下面使用pandas读取这两个文件。

test_data = pd.read_csv("/home/kesci/input/houseprices2807/house-prices-advanced-regression-techniques/test.csv")
train_data = pd.read_csv("/home/kesci/input/houseprices2807/house-prices-advanced-regression-techniques/train.csv")

预处理数据

我们对连续数值的特征做标准化(standardization):设该特征在整个数据集上的均值为 μ \mu μ,标准差为 σ \sigma σ。那么,我们可以将该特征的每个值先减去 μ \mu μ再除以 σ \sigma σ得到标准化后的每个特征值。对于缺失的特征值,我们将其替换成该特征的均值。

numeric_features = all_features.dtypes[all_features.dtypes != 'object'].index
all_features[numeric_features] = all_features[numeric_features].apply(
    lambda x: (x - x.mean()) / (x.std()))
# 标准化后,每个数值特征的均值变为0,所以可以直接用0来替换缺失值
all_features[numeric_features] = all_features[numeric_features].fillna(0)

接下来将离散数值转成指示特征。举个例子,假设特征MSZoning里面有两个不同的离散值RL和RM,那么这一步转换将去掉MSZoning特征,并新加两个特征MSZoning_RL和MSZoning_RM,其值为0或1。如果一个样本原来在MSZoning里的值为RL,那么有MSZoning_RL=1且MSZoning_RM=0。

# dummy_na=True将缺失值也当作合法的特征值并为其创建指示特征
all_features = pd.get_dummies(all_features, dummy_na=True) #利用pandas实现one hot encode的方式
#最后,通过`values`属性得到NumPy格式的数据,并转成`Tensor`方便后面的训练。
n_train = train_data.shape[0]
train_features = torch.tensor(all_features[:n_train].values, dtype=torch.float)
test_features = torch.tensor(all_features[n_train:].values, dtype=torch.float)
train_labels = torch.tensor(train_data.SalePrice.values, dtype=torch.float).view(-1, 1)

训练模型

loss = torch.nn.MSELoss()

def get_net(feature_num):
    net = nn.Linear(feature_num, 1)
    for param in net.parameters():
        nn.init.normal_(param, mean=0, std=0.01)   #normal_为正态分布
    return net

下面定义比赛用来评价模型的对数均方根误差。给定预测值 y ^ 1 , … , y ^ n \hat y_1, \ldots, \hat y_n y^1,,y^n和对应的真实标签 y 1 , … , y n y_1,\ldots, y_n y1,,yn,它的定义为

1 n ∑ i = 1 n ( log ⁡ ( y i ) − log ⁡ ( y ^ i ) ) 2 . \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\log(y_i)-\log(\hat y_i)\right)^2}. n1i=1n(log(yi)log(y^i))2 .

对数均方根误差的实现如下。

def log_rmse(net, features, labels):
    with torch.no_grad():
        # 将小于1的值设成1,使得取对数时数值更稳定
        clipped_preds = torch.max(net(features), torch.tensor(1.0))
        rmse = torch.sqrt(2 * loss(clipped_preds.log(), labels.log()).mean())
    return rmse.item()

下面的训练函数跟本章中前几节的不同在于使用了Adam优化算法。相对之前使用的小批量随机梯度下降,它对学习率相对不那么敏感。

def train(net, train_features, train_labels, test_features, test_labels,
          num_epochs, learning_rate, weight_decay, batch_size):
    train_ls, test_ls = [], []
    dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels)
    train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True)
    # 这里使用了Adam优化算法
    optimizer = torch.optim.Adam(params=net.parameters(), lr=learning_rate, weight_decay=weight_decay) 
    net = net.float()
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X.float()), y.float())
            optimizer.zero_grad()
            l.backward()
            optimizer.step()
        train_ls.append(log_rmse(net, train_features, train_labels))
        if test_labels is not None:
            test_ls.append(log_rmse(net, test_features, test_labels))
    return train_ls, test_ls

K折交叉验证

我们在模型选择、欠拟合和过拟合中介绍了 K K K折交叉验证。它将被用来选择模型设计并调节超参数。下面实现了一个函数,它返回第i折交叉验证时所需要的训练和验证数据。

def get_k_fold_data(k, i, X, y):
    # 返回第i折交叉验证时所需要的训练和验证数据
    assert k > 1
    fold_size = X.shape[0] // k
    X_train, y_train = None, None
    for j in range(k):
        idx = slice(j * fold_size, (j + 1) * fold_size)
        X_part, y_part = X[idx, :], y[idx]
        if j == i:
            X_valid, y_valid = X_part, y_part
        elif X_train is None:
            X_train, y_train = X_part, y_part
        else:
            X_train = torch.cat((X_train, X_part), dim=0)
            y_train = torch.cat((y_train, y_part), dim=0)
    return X_train, y_train, X_valid, y_valid
    
def k_fold(k, X_train, y_train, num_epochs,
           learning_rate, weight_decay, batch_size):
    train_l_sum, valid_l_sum = 0, 0
    for i in range(k):
        data = get_k_fold_data(k, i, X_train, y_train)
        net = get_net(X_train.shape[1])
        train_ls, valid_ls = train(net, *data, num_epochs, learning_rate,
                                   weight_decay, batch_size)
        train_l_sum += train_ls[-1]
        valid_l_sum += valid_ls[-1]
        if i == 0:
            d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'rmse',
                         range(1, num_epochs + 1), valid_ls,
                         ['train', 'valid'])
        print('fold %d, train rmse %f, valid rmse %f' % (i, train_ls[-1], valid_ls[-1]))
    return train_l_sum / k, valid_l_sum / k

模型选择

我们使用一组未经调优的超参数并计算交叉验证误差。可以改动这些超参数来尽可能减小平均测试误差。
有时候你会发现一组参数的训练误差可以达到很低,但是在 K K K折交叉验证上的误差可能反而较高。这种现象很可能是由过拟合造成的。因此,当训练误差降低时,我们要观察 K K K折交叉验证上的误差是否也相应降低。

k, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size = 5, 100, 5, 0, 64
train_l, valid_l = k_fold(k, train_features, train_labels, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)
print('%d-fold validation: avg train rmse %f, avg valid rmse %f' % (k, train_l, valid_l))

预测并在Kaggle中提交结果

下面定义预测函数。在预测之前,我们会使用完整的训练数据集来重新训练模型,并将预测结果存成提交所需要的格式。

def train_and_pred(train_features, test_features, train_labels, test_data,
                   num_epochs, lr, weight_decay, batch_size):
    net = get_net(train_features.shape[1])
    train_ls, _ = train(net, train_features, train_labels, None, None,
                        num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'rmse')
    print('train rmse %f' % train_ls[-1])
    preds = net(test_features).detach().numpy()
    test_data['SalePrice'] = pd.Series(preds.reshape(1, -1)[0])
    submission = pd.concat([test_data['Id'], test_data['SalePrice']], axis=1)
    submission.to_csv('./submission.csv', index=False)
    # sample_submission_data = pd.read_csv("../input/house-prices-advanced-regression-techniques/sample_submission.csv")

设计好模型并调好超参数之后,下一步就是对测试数据集上的房屋样本做价格预测。如果我们得到与交叉验证时差不多的训练误差,那么这个结果很可能是理想的,可以在Kaggle上提交结果。

train_and_pred(train_features, test_features, train_labels, test_data, num_epochs, lr, weight_decay, batch_size)