机器学习之决策树与随机森林模型

作者: 汪毅雄 2017-10-18 14:11:20

决策树

引言

决策树,是机器学习中一种非常常见的分类方法,也可以说是所有算法中最直观也最好理解的算法。先举个最简单的例子:

A:你去不去吃饭?

B:你去我就去。

“你去我就去”,这是典型的决策树思想。

再举个例子:

有人找我借钱(当然不太可能。。。),借还是不借?我会结合根据我自己有没有钱、我自己用不用钱、对方信用好不好这三个特征来决定我的答案。

我们把转到更普遍一点的视角,对于一些有特征的数据,如果我们能够有这么一颗决策树,我们也就能非常容易地预测样本的结论。所以问题就转换成怎么求一颗合适的决策树,也就是怎么对这些特征进行排序。

在对特征排序前先设想一下,对某一个特征进行决策时,我们肯定希望分类后样本的纯度越高越好,也就是说分支结点的样本尽可能属于同一类别。

所以在选择根节点的时候,我们应该选择能够使得“分支结点纯度最高”的那个特征。在处理完根节点后,对于其分支节点,继续套用根节点的思想不断递归,这样就能形成一颗树。这其实也是贪心算法的基本思想。那怎么量化“纯度最高”呢?熵就当仁不让了,它是我们最常用的度量纯度的指标。其数学表达式如下:

其中N表示结论有多少种可能取值,p表示在取第k个值的时候发生的概率,对于样本而言就是发生的频率/总个数。

熵越小,说明样本越纯。

以一个两点分布样本X(x=0或1)的熵的函数图像来说明吧,横坐标表示样本值为1的概率,纵坐标表示熵。

可以看到到当p(x=1)=0时,也就是说所有的样本都为0,此时熵为0.

当p(x=1)=1时,也就是说所有的样本都为1,熵也为0.

当p(x=1)=0.5时,也就是样本中0,1各占一半,此时熵能取得最大值。

扩展一下,样本X可能取值为n种(x1。。。。xn)。可以证明,当p(xi)都等于1/n 时,也就是样本绝对均匀,熵能达到最大。当p(xi)有一个为1,其他都为0时,也就是样本取值都是xi,熵最小。

决策树算法

ID3

假设在样本集X中,对于一个特征a,它可能有(a1,a2。。。an)这些取值,如果用特征a对样本集X进行划分(把它当根节点),肯定会有n个分支结点。刚才提了,我们希望划分后,分支结点的样本越纯越好,也就是分支结点的“总熵”越小越好。

因为每个分支结点的个数不一样,因此我们计算“总熵”时应该做一个加权,假设第i个结点样本个数为W(ai),其在所有样本中的权值为W(ai) / W(X)。所以我们可以得到一个总熵:

这个公式代表含义一句话:加权后各个结点的熵的总和。这个值应该越小,纯度越高。

这时候,我们引入一个名词叫信息增益G(X,a),意思就是a这个特征给样本带来的信息的提升。公式就是:,由于H(X)对一个样本而言,是一个固定值,因此信息增益G应该越大越好。寻找使得信息增益最大的特征作为目标结点,并逐步递归构建树,这就是ID3算法的思想,好了以一个简单的例子来说明信息增益的计算:

上面的例子,我计算一下特征1的信息增益

首先计算样本的熵H(X)

再计算总熵,可以看到特征1有3个结点A、B、C,其分别为6个、6个、5个

所以A的权值为6/(6+6+5), B的权值为6/(6+6+5), C的为5/(6+6+5)

因为我们希望划分后结点的纯度越高越好,因此还需要再分别计算结点A、B、C的熵

特征1=A:3个是、3个否,其熵为

特征1=B:2个是、4个否,其熵为

特征1=C:4个是、1个否,其熵为

这样分支结点的总熵就等于:

特征1的信息增益就等于0.998-0.889=0.109

类似地,我们也能算出其他的特征的信息增益,最终取信息增益最大的特征作为根节点。

以上计算也可以有经验条件熵来推导:G(X,A)=H(X) - H(X|A),这部分有兴趣的同学可以了解一下。

C4.5

在ID3算法中其实有个很明显的问题。

如果有一个样本集,它有一个叫id或者姓名之类的(唯一的)的特征,那就完蛋了。设想一下,如果有n个样本,id这个特征肯定会把这个样本也分成n份,也就是有n个结点,每个结点只有一个值,那每个结点的熵就为0。就是说所有分支结点的总熵为0,那么这个特征的信息增益一定会达到最大值。因此如果此时用ID3作为决策树算法,根节点必然是id这个特征。但是显然这是不合理的。。。

当然上面说的是极限情况,一般情况下,如果一个特征对样本划分的过于稀疏,这个也是不合理的(换句话就是,偏向更多取值的特征)。为了解决这个问题,C4.5算法采用了信息增益率来作为特征选取标准。

所谓信息增益率,是在信息增益基础上,除了一项split information,来惩罚值更多的属性。

而这个split information其实就是特征个数的熵H(A)。

为什么这样可以减少呢,以上面id的例子来理解一下。如果id把n个样本分成了n份,那id这个特征的取值的概率都是1/n,文章引言已经说了,样本绝对均匀的时候,熵最大。

因此这种情况,以id为特征,虽然信息增益最大,但是惩罚因子split information也最大,以此来拉低其增益率,这就是C4.5的思想。

CART

决策树的目的最终还是寻找到区分样本的纯度的量化标准。在CART决策树中,采用的是基尼指数来作为其衡量标准。基尼系数直观的理解是,从集合中随机抽取两个样本,如果样本集合越纯,取到不同样本的概率越小。这个概率反应的就是基尼系数。

因此如果一个样本有K个分类。假设样本的某一个特征a有n个取值的话,其某一个结点取到不同样本的概率为:

因此k个分类的概率总和,我们称之为基尼系数:

而基尼指数,则是对所有结点的基尼系数进行加权处理

计算出来后,我们会选择基尼系数最小的那个特征作为最优划分特征。

剪枝

剪枝的目的其实就是防止过拟合,它是决策树防止过拟合的最主要手段。决策树中,为了尽可能争取的分类训练样本,所以我们的决策树也会一直生长。但是呢,有时候训练样本可能会学的太好,以至于把某些样本的特有属性当成一般属性。这时候就我们就需要主动去除一些分支,来降低过拟合的风险。

剪枝一般有两种方式:预剪枝和后剪枝。

预剪枝

一般情况下,只要结点样本已经100%纯了,树才会停止生长。但这个可能会产生过拟合,因此我们没有必要让它100%生长,所以在这之前,设定一些终止条件来提前终止它。这就叫预剪枝,这个过程发生在决策树生成之前。

一般我们预剪枝的手段有:

1、限定树的深度

2、节点的子节点数目小于阈值

3、设定结点熵的阈值

等等。

后剪枝

顾名思义,这个剪枝是在决策树建立过程后。后剪枝算法的算法很多,有些也挺深奥,这里提一个简单的算法的思想,就不深究啦。

Reduced-Error Pruning (REP)

该剪枝方法考虑将树上的每个节点都作为修剪的候选对象,但是有一些条件决定是否修剪,通常有这几步:

1、删除其所有的子树,使其成为叶节点。

2、赋予该节点最关联的分类

3、用验证数据验证其准确度与处理前比较

如果不比原来差,则真正删除其子树。然后反复从下往上对结点处理。这个处理方式其实是处理掉那些“有害”的节点。

随机森林

随机森林的理论其实和决策树本身不应该牵扯在一起,决策树只能作为其思想的一种算法。

为什么要引入随机森林呢。我们知道,同一批数据,我们只能产生一颗决策树,这个变化就比较单一了。还有要用多个算法的结合呢?

这就有了集成学习的概念。

图中可以看到,每个个体学习器(弱学习器)都可包含一种算法,算法可以相同也可以不同。如果相同,我们把它叫做同质集成,反之则为异质。

随机森林则是集成学习采用基于bagging策略的一个特例。

从上图可以看出,bagging的个体学习器的训练集是通过随机采样得到的。通过n次的随机采样,我们就可以得到n个样本集。对于这n个样本集,我们可以分别独立的训练出n个个体学习器,再对这n个个体学习器通过集合策略来得到最终的输出,这n个个体学习器之间是相互独立的,可以并行。

注:集成学习还有另一种方式叫boosting,这种方式学习器之间存在强关联,有兴趣的可以了解下。

随机森林采用的采样方法一般是是Bootstap sampling,对于原始样本集,我们每次先随机采集一个样本放入采样集,然后放回,也就是说下次采样时该样本仍有可能被采集到,经过一定数量的采样后得到一个样本集。由于是随机采样,这样每次的采样集是和原始样本集不同的,和其他采样集也是不同的,这样得到的个体学习器也是不同的。

随机森林最主要的问题是有了n个结果,怎么设定结合策略,主要方式也有这么几种:

加权平均法:

平均法常用于回归。做法就是,先对每个学习器都有一个事先设定的权值wi,

然后最终的输出就是:

当学习器的权值都为1/n时,这个平均法叫简单平均法。

投票法:

投票法类似我们生活中的投票,如果每个学习器的权值都是一样的。

那么有绝对投票法,也就是票数过半。相对投票法,少数服从多数。

如果有加权,依然是少数服从多数,只不过这里面的数是加权后的。

例子

以一个简单的二次函数的代码来看看决策树怎么用吧。

训练数据是100个随机的真实的平方数据,不同的深度将会得到不同的曲线

测试数据也是随机数据,但是不同深度的树的模型,产生的预测值也不太一样。如图

这幅图的代码如下:

我的是python 3.6环境,需要安装numpy、matplotlib、sklearn这三个库,需要的话直接pip install,大家可以跑跑看看,虽然简单但挺有趣。

  1. #!/usr/bin/python 
  2. # -*- coding:utf-8 -*- 
  3.  
  4. import numpy as np 
  5. import matplotlib as mpl 
  6. import matplotlib.pyplot as plt 
  7. from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor 
  8.  
  9.  
  10. if __name__ == "__main__"
  11.  
  12.     # 准备训练数据 
  13.     N = 100 
  14.     x = np.random.rand(N) * 6 - 3 
  15.     x.sort() 
  16.     y = x*x 
  17.     x = x.reshape(-1, 1) 
  18.  
  19.     mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'
  20.     mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False 
  21.  
  22.     # 决策树深度及其曲线颜色 
  23.     depth = [2, 4, 6, 8, 10] 
  24.     clr = 'rgbmy' 
  25.  
  26.     # 实际值 
  27.     plt.figure(facecolor='w'
  28.     plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, mec='k', label='实际值'
  29.  
  30.     # 准备测试数据 
  31.     x_test = np.linspace(-3, 3, 50).reshape(-1, 1) 
  32.  
  33.     # 构建决策树 
  34.     dtr = DecisionTreeRegressor() 
  35.     # 循环不同深度情况下决策树的模型,并用之测试数据的输出 
  36.     for d, c in zip(depth, clr): 
  37.         # 设置最大深度(预剪枝) 
  38.         dtr.set_params(max_depth=d) 
  39.         # 训练决策树 
  40.         dtr.fit(x, y) 
  41.         # 用训练数据得到的模型来验证测试数据 
  42.         y_hat = dtr.predict(x_test) 
  43.         # 画出模型得到的曲线 
  44.         plt.plot(x_test, y_hat, '-', color=c, linewidth=2, markeredgecolor='k', label='Depth=%d' % d) 
  45.     # 一些画图的基本参数 
  46.     plt.legend(loc='upper center', fontsize=12) 
  47.     plt.xlabel('X'
  48.     plt.ylabel('Y'
  49.     plt.grid(b=True, ls=':', color='#606060'
  50.     plt.title('二次函数决策树', fontsize=15) 
  51.     plt.tight_layout(2) 
  52.     plt.show() 

原文链接:https://www.qcloud.com/community/article/160232

作者:汪毅雄

【本文是51CTO专栏作者“腾讯云技术社区”的原创稿件,转载请通过51CTO联系原作者获取授权】

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